La mejor manera de acometer por primera vez la derivación de las ecuaciones de onda para el campo eléctrico y el campo magnético a partir de las ecuaciones de Maxwell es en el vacío; esto es, en un medio libre de cargas y corrientes. Esto equivale a decir que tanto la densidad de carga en la Ley de Gauss como todas las densidades de corrientes en la Ley de Ampère-Maxwell (o Ley de Ampère generalizado) sean cero.
La derivación de la ecuación de ondas electromagnéticas requiere de cierto grado de conocimiento y destreza en la utilización de operadores vectoriales. En particular, los cuatro operadores vectoriales que intervienen en esta manipulación (algunos de los cuales ya aparecen en las ecuaciones de Maxwell) son:
- el gradiente
- la divergencia
- el rotacional
- la laplaciana
de un campo vectorial.
En este contexto la derivación de la ecuación de ondas electromagnéticas surge de la aplicación del cálculo del rotacional del rotacional de E (o de B) y el uso de una propiedad matemática de los operadores diferenciales relacionada con el mismo.
NOTA: El rotacional del rotacional de un campo vectorial es igual al gradiente de la divergencia del campo menos su laplaciana. Es muy difícil entender esta propiedad de forma intuitiva, aunque que es un poco más factible lograr la interpretación por separado de los operadores que la componen. Normalmente esta relación se demuestra que es cierta desarrollando las expresiones asociadas a cada operador y manipulándolas adecuadamente, lo que requiere cierta destreza. Si tienes tiempo y curiosidad, indaga y/o pregunta. Si careces de ello, deberás asumirla para ahora.
Todo ello conduce a la fórmula matemática que coincide con la que se utiliza para la descripción de ondas en el espacio (x, y, z).
De la relación entre la expresión adquirida y la que se conoce de forma genérica se deduce que la velocidad de la luz se puede calcular a partir de la permitividad eléctrica y la permeabilidad magnética del medio (en este caso, el vacío).
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